[TOP]

343とFermatの「約数の和」問題

2017年12月21日作成/2017年12月25日修正

本ページはインテジャーズ Advent Calendar 2017の21日目の記事です。

Fermatは様々な予想や定理、問題を提起しましたが、その中に次のような問題があります。

  1. 立方数で、その約数の和が平方数になるものを求めよ。たとえば $7^3=343$ の約数の和は $1+7+7^2+7^3=20^2$ など。
  2. 平方数で、その約数の和が立方数になるものを求めよ。

これらの2つの問題を $\sigma$ を使ってあらわすと それぞれ \begin{equation}\label{eq1} \sigma(x^3)=y^2 \end{equation} および \begin{equation}\label{eq2} \sigma(x^2)=y^3 \end{equation} となる整数 $x, y$ を求める問題ということになります。

$x=p$ が素数の場合に限れば、それぞれ \begin{equation}\label{eq3} 1+p+p^2+p^3=y^2 \end{equation} および \begin{equation}\label{eq4} 1+p+p^2=y^3 \end{equation} という不定方程式を解く問題に帰着されます。一般の場合は \[x=\prod_{i=1}^k p_i^{e_i}\] と素因数分解すれば、それぞれ \[\prod_{i=1}^k (1+p_i+p_i^2+\cdots +p_i^{3e_i})=y^2\] および \[\prod_{i=1}^k (1+p_i+\cdots +p_i^{2e_i})=y^3\] を解く問題に帰着されます。

Fermatはこの問題を1657年に提起しましたが、当初は真面目に相手にする人がいなかったようで、 WallisはDigbyに宛てた手紙の中で、この二つの問題の解として $1$ をあげています。また Brounckerは一つ目の問題の解として $\frac{1}{n^6}$ と $\frac{343}{n^6}$ という謎の解をあげています。

Frenicleは1を解として挙げる数学者がいることに呆れていますが、当時、こうした初等整数論の問題が、 というよりはFermatの数論研究自体が真剣に考えられてこなかったことをあらわしてもいると思います。

その後、Wallisは的外れな答えをしていたことに気付いたのか、$n$ が小さな素数や $2, 3, 5$ の累乗で あるときに、 $\sigma(n^3)$ の素因数分解を与え、そこから一つ目の問題の解を見つけています。

素因数分解を使ってどうするのかですが、$\sigma(x^3)$ の素因数分解に現れる各素数の指数は $\prod_{i=1}^k (1+p_i+p_i^2+\cdots +p_i^{3e_i}$ の素因数分解に現れる素数の指数の総和なので、 それらがすべて偶数になるものを探します。たとえば \[ \begin{split} \sigma(2^3) & =2^3+2^2+2+1=15=3\cdot 5,\\ \sigma(3^3) & =3^3+3^2+3+1=40=2^3\cdot 5,\\ \sigma(5^3) & =5^3+5^2+5+1=156=2^2\cdot 3\cdot 13,\\ \sigma(13^3) & =13^3+13^2+13+1=2380=2^2\cdot 5\cdot 7\cdot 17,\\ \sigma(41^3) & =41^3+41^2+41+1=70644=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 29^2,\\ \sigma(47^3) & =47^3+47^2+47+1=106080=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 13\cdot 17 \end{split} \] から \[ \sigma(751530^3)=\sigma((2\cdot 3\cdot 5\cdot 13\cdot 41\cdot 47)^3)=2^{14}\cdot 3^4\cdot 5^4\cdot 7^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 29^2=1292054400^2 \] となることがわかります。また \[\sigma(3^9)=2^2\cdot 11^2\cdot 61\] などから \[\sigma(37200735^3)=\sigma((3^3\cdot 5\cdot 11\cdot 13\cdot 41\cdot 47)^3)=346787400960^2\] が得られます。

約数の和が累乗になる数

LucasはFermatの提示した2つの問題には無限個の解があると主張しましたが、証明は示しておらず、 問題は未解決のようです。一方、元の数が平方数や立法数ではなく、平方因子を持たない数とした場合、 約数の和が $k$ 乗数になる数、 つまり \[\sigma(x)=y^k\] となる、平方因子を持たない数 $x$ は無限にあることがわかっています。 基本的な考えは上記のWallisの方法と同様で、 $p+1$ の素因数分解を考えます。 ここで、定数 $c_1, c_2$ (ただし $c_1<1$ )が存在し、 $x$ が十分大きいとき、素数 $p\leq x$ で $p+1$ が $x^{c_1}$ より小さな素因数しか持たないようなものの個数が $x/\log^{c_2} x$ より多いという(かなり高度な)結果が知られています。 それで、$p+1$ の素因数が小さいものを集めて、その素因数分解に現れる各素数の指数の和がすべて $k$ の倍数となるものが存在することを示すことになります。

具体的には \[p_i+1=\prod_{j=1}^M q_j^{e_j} (i=1, 2, \ldots, N)\] に対して \[\mathbb{v}_i=[e_1, e_2, \ldots, e_M]\] というベクトルを対応させると、 $1$ から $N$ までの整数の空でない部分集合 $S$ をうまくとって $\sum_{i\in S}\mathbb{v}_i$ の各成分がすべて $k$ の倍数となるようにできれば $\sigma(\prod_{i\in S} p_i)=\prod_{i\in S} (p_i+1)$ は望んだとおり $k$ 乗数となります。

実は $N$ が $M$ に比べて十分大きければ、そのような部分集合 $S$ が必ず多く存在することが知られています。 ここで $G=(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^M$ の要素からなる列 $\mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \ldots, \mathbb{v}_n$ で、

$S$ が $1, 2, \ldots, n$ の空でない部分集合であるときに $\sum_{i\in S}\mathbb{v}_i$ が決して $\mathbb{0}$ に一致しない
という性質を持ったものを考えます。そのような列で最も長いものの個数を $n(G)$ とすると、 次のようなことが知られています(Alford, Granville and Pomerance, Ann. of Math. 139 (1994), 703--722, 著者名で気づいた方もいらっしゃると思いますが、これはCarmichael数が無限に多く存在することを証明するために用いられた結果です)。
  1. $n(G)\lt M(1+\log(k^M/M))$.
  2. $N\gt s\gt n(G)$ であるとき $G$ の $N$ 個の要素 $\mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \ldots, \mathbb{v}_n$ をとると必ず、 \[\sum_{i\in S}\mathbb{v}_i=\mathbb{0}\] となる集合 $S$ で、 $s-n(G)\leq |S|\leq s$ となるものが少なくとも $\binom{N}{s}/\binom{N}{n(G)}$ 個とれる。

上記の $p_i+1$ の素因数分解に対応するベクトルに対して、これを適用することで、 $\sigma(x)$ が $k$ 乗数となるものが多くとれることがわかります。 ここから $\sigma(x)$ が $k$ 乗数となる平方因子を持たない $x$ が無限に多く存在することが導かれます。

上の結果で $c_1=0.2961$ ととれることが知られています (Baker and Harman, Acta Arith. 83 (1998), 331-361)。これを使うことで

約数の和が $k$ 乗数となるような、 $X$ 以下の、平方因子を持たない整数の個数を $s_k(X)$ とおく。任意の正の数 $\epsilon>0$ に対し、$X$ が十分大きいとき $s_k(X)\geq X^{0.7039-\epsilon}$ が成り立つ。

ということが導かれます (Freiberg, J. Aust. Math. Soc. 92 (2012), 145-154)。

この問題については、 Beukers, Luca and Oort, Amer. Math. Monthly 119 (2012), 373-380 で詳しく取り扱われています。

素数の場合

ところで $x$ が素数 $p$ の場合に限れば、冒頭に掲げた、Fermatの2つの問題の解は有限個しかないこと、 より正確には

$(\ref{eq3})$ の解は $(p, y)=(7, \pm 20)$ のみで、$(\ref{eq4})$ は解を持たない。
ということが比較的簡単に証明できます。


$(p, y)$ が $(\ref{eq3})$ の解ならば $(p, -y)$ も $(\ref{eq3})$ の解なので $y$ が正の場合のみ考えます。 $(\ref{eq3})$ の両辺から $1$ を引いて \[p(1+p+p^2)=p+p^2+p^3=y^2-1=(y-1)(y+1)\] という形にすることで $y\equiv \pm 1\pmod{p}$ つまり $y=ap+1$ または $y=ap-1$ となることがわかります。 もちろん $a$ は正です。

$y=ap+1$ の場合、先程の式の両辺を $p$ で割って \[a(ap+2)=1+p+p^2\] となり、 $2a\equiv 1\pmod{p}$ であることがわかりますから、$2a=bp+1$ とおくと \[4(1+p+p^2)=4a(ap+2)=(2a)^2 p+8a=(bp+1)^2 p+4(bp+1)=b^2 p^3+2bp^2+(4b+1)p+4\] となって、両辺から $4$ を引いて、次いで $p$ で割ると \begin{equation}\label{eq5} 4(1+p)=b^2 p^2+2bp+4b+1 \end{equation} となります。

$bp=2a-1>0$ より $b$ も正ですが、 $b\geq 2$ のときは \[b^2 p^2\geq 4p^2\geq 4(1+p)\] より $(\ref{eq5})$ の右辺は必ず左辺より大きくなるので $(\ref{eq5})$ は成り立ちません。 残った $b=1$ のときは $(\ref{eq5})$ は \[4(1+p)=p^2+2p+5\] つまり \[p^2-2p+1=0\] となり、$p=1$ となりますが、これは素数ではありません。

$y=ap-1$ の場合、同様に \[a(ap-2)=1+p+p^2\] より $2a=bp-1$ とおくと \[4(1+p+p^2)=(bp-1)^2 p-4(bp-1)=b^2 p^3-2bp^2+(1-4b)p+4\] から \begin{equation}\label{eq6} 4(1+p)=b^2 p^2-2bp+(1-4b) \end{equation} がわかります。もちろんここでも $b$ は正です。 そこで $b\geq 2$ のときは \[b^2 p^2\geq 2b^2 p\geq (2b+4) p>(2b+4)p-4b+3\] より、やはり $(\ref{eq6})$ の右辺は必ず左辺より大きくなり $(\ref{eq6})$ は成り立ちません。一方 $b=1$ のとき \[p^2-2p-3=4p+4\] より \[p^2-6p-7=0\] となって $p=7$ が得られます。このとき $y=20$ です。これがただ一つの解です。

これは $y$ が正の場合でしたが、符号を変えることで、 $y$ が負の場合も $p=7, y=-20$ がただ一つの解です。したがって $(\ref{eq3})$ の解は $(p, y)=(7, \pm 20)$ のみとなります。


次に $(\ref{eq4})$ の解が存在しないことを示します。 やはり $(\ref{eq4})$ の両辺から $1$ を引くと \[p(p+1)=p+p^2=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)\] となりますから $p$ は $y-1$ または $y^2+y+1$ を割り切ることになります。 ここで右辺に2次の因数が出ているところが先程の場合と異なります。

$p$ が $y-1$ の約数のとき $y-1=ap$ とおくと $y^2+y+1=(p+1)/a$ となって \[y^2+y+1\leq p+1\leq ap+1\leq y,\] つまり $y^2+1\leq 0$ となってしまうので、 $p$ が $y-1$ を割り切るということは ありえないことがわかります。

$p$ が $y^2+y+1$ の約数のときは、少し慎重な検討が必要となります。 \[p+1=a(y-1), ap=y^2+y+1\] とおくと \[p=ay-a-1\] より \[a(ay-a-1)=y^2+y+1\] となりますが、これを移項すると \[y(a^2-y-1)=a^2+a+1\] となります。 $y\geq 2$ のとき \[a^2+a+1=y(a^2-y-1)\geq 2(a^2-3)=2a^2-6\] つまり \[a^2\leq a+7\] より $a\leq 3$ です。 $a=3$ のとき $y(8-y)=13$ より $y=4\pm \sqrt{3}$ でなければなりませんが、これは整数ではありません。 $a=2$ のとき $y(3-y)=7$, $a=1$ のとき $-y^2=1$ で、いずれの場合も $y$ は実数ではないので $a$ がどんな正の整数でも $y$ が整数になることはない、つまり $y\geq 2$ はありえないことになります。 残ったのは $y=1$ の場合ですが、このとき $p^2+p+1=y^3=1$ より $p=-1, 0$ となってしまうので この場合もありえません。

このことから、 $(\ref{eq4})$ は解を持たないことがわかります。

12/25 追記

その後、次回記事 を書くにあたってTwitterを読み返していましたところ、$(\ref{eq3})$ の解が $(p, y)=(7, \pm 20)$ しかないことについて、 より単純な証明があることを以前にtweetしていたことを思い出しました。

$\gcd(p+1, p^2+1)=1, 2$ ですが $p^2+1$ は平方数にはならないので $p+1=2s^2, p^2+1=2t^2$ です。もちろん $p$ は奇数です。 \[2(t+s)(t-s)=2t^2-2s^2=p^2-p=p(p-1)\] なので $t-s, t+s$ の一方は $p$ の倍数ですから、 $s+t\geq p$ となります。

ところで $2s^2-1=p, 2t^2-1=p^2$ ですから \[s\leq sqrt{(p+1)/2}, t\leq sqrt{(p^2+1)/2}\] が成り立ちます。

$p\geq 3$ ですから $t<(3/4)p, sp/4$ つまり $p<16$ でなければいけません。 $p=3, 5, 7, 11, 13$ を順次確かめていくと $p=2s^2-1$ となるのは $s=2, p=7$ のときのみです。 よって解は $(p, y)=(7, \pm 20)$ のみとなります。

12/25追記

公開後、次回記事 を書くにあたってTwitterを読み返していましたところ、$(\ref{eq3})$ の解が $(p, y)=(7, \pm 20)$ しかないことについて、 より単純な証明があることを以前にtweetしていたことを思い出しました。

$\gcd(p+1, p^2+1)=1, 2$ ですが $p^2+1$ は平方数にはならないので $p+1=2s^2, p^2+1=2t^2$ です。もちろん $p$ は奇数です。 \[2(t+s)(t-s)=2t^2-2s^2=p^2-p=p(p-1)\] なので $t-s, t+s$ の一方は $p$ の倍数ですから、 $s+t\geq p$ となります。

ところで $2s^2-1=p, 2t^2-1=p^2$ ですから \[s\leq \sqrt{(p+1)/2}, t\leq \sqrt{(p^2+1)/2}\] が成り立ちます。

$p\geq 3$ ですから $t<(3/4)p, s<\sqrt{p}$ より $\sqrt{p}>p/4$ つまり $p<16$ でなければいけません。 $p=3, 5, 7, 11, 13$ を順次確かめていくと $p=2s^2-1$ となるのは $s=2, p=7$ のときのみです。 よって解は $(p, y)=(7, \pm 20)$ のみとなります。


Fermatは約数の和を考えたのですが、代数的にあらわされた不定方程式 $(\ref{eq3})$ および $(\ref{eq4})$ のほうに着目して、pが素数という条件を外すとどうなるでしょうか。 つまり純粋な代数的不定方程式 \[1+x+x^2+x^3=y^2\] および \[1+x+x^2=y^3\] で $x$ が素数でなくてもよいとして、整数解を考えるわけです。

実はこの場合にも整数解は有限個しか存在しないことが示せますが、その点については次回の記事で 解説したいと思います。

あとがき

はじめに書いたとおり、本ページはインテジャーズ Advent Calendar 2017の21日目の記事です。 インテジャーズ Advent Calendar 2017 で何か書きたいと思ってエントリしましたが、 初等整数論に関する大抵の話題はすでにインテジャーズの本家ブログで出尽くしているため、 まだ本家ブログで触れられていない話題を考えておりました。

今回のFermatの問題もすでに本家ブログで触れられていると思っていたら意外にも触れられていませんでしたので、 この機会に議論しようと思った次第です。

本ページはインテジャーズ Advent Calendar 2017 の記事ということから、文体なども普段と少し変えてインテジャーズ本家を意識しましたが、いかがでしたか?

タイトル
名前
URL
E-mail address
本文中ではLaTeXコマンドが使用可能です。
イメージ色
[admin]


[BACK][NEXT]

#1128:[ 無題 ] Home Mail web3 marketing_____Date: 02/11 11:15 GMT
Your mode of describing the whole thing in this post
is genuinely fastidious, all can simply know it, Thanks
a lot.

#1127:[ 無題 ] Home Mail Debbra_____Date: 02/07 22:38 GMT
Your method of telling all in this post is truly good, all be able to without difficulty know it,
Thanks a lot.

#1126:[ 無題 ] Home Mail bl555_____Date: 02/05 10:34 GMT
BL555 khng x窕 dựng như một trang c cược đơn thuần m như một hệ thống tch hợp
nhiều loại hnh chơi kh當 nhau trong cng một giao diện, từ
b瀟 casino live đến c當 k鑰 thể thao v tr quay
số. Ưu đ緤 trải nghiệm 55kK cho ph駱 người mới kiểm tra c當h đặt cược, hiển thị kết quả v xử l
giao dịch trước khi quyết định nạp
tiền. Được cấp ph駱 bởi dịch vụ c cược uy
tn PAGCOR hoạt động đa quốc gia BL555 l điểm đến chất lượng nhất
năm 2026 https://maden.sa.com/.

#1125:[ 無題 ] Home Mail bl555_____Date: 02/04 06:16 GMT
BL555 l t麩 nh c疂 trực tuyến đang hoạt động tại l瀟g giải tr online Việt Nam,
số lượng lớn người tham gia chơi tại
cổng game n炸 c thể khiến người chơi cho疣g ngợp.
Nhưng đừng để điều đ ảnh hưởng đến c當 cuộc chơi của bạn. Cng với đ BL555 sở hữu giấy ph駱 hoạt
động hợp ph疳 uy tn của nh quản l tr chơi PAGCOR.
Tham gia ngay tại link đăng k tặng 555k
https://travelo.in.net/

#1124:[ 無題 ] Home Mail казино admiral x_____Date: 02/01 02:13 GMT
Адмирал Икс — онлайн-казино с узнаваемым
стилем, где игроку доступен полный набор популярных развлечений.
Если вам важно играть в знакомой среде без лишних усложнений, переходите на Admiral X
программа вознаграждений и оцените интерфейс и каталог сами.



Платформа Адмирал Икс показывает себя как
комплексное решение, поэтому бонусы, акции и турниры проводятся регулярно.

Система пополнений и выводов поддерживает
несколько популярных направлений,
а служба помощи работает без выходных.






Комбинация приветственных и регулярных поощрений


Соревновательные форматы с таблицами лидеров


Работа на десктопе и в мобильной версии



Клуб ориентирован на тех,
кто возвращается к игре регулярно

#1123:[ 無題 ] Home Mail bl555_____Date: 01/27 10:35 GMT
BL555 nổi tiếng l một nh c疂 trực tuyến uy tn để gắn b l穹
d瀛, BL555 l c疂 t麩 rất đ疣g để thử. Nền tảng n炸 được vận h瀟h theo m hnh nh c疂 chnh thức, tập trung mạnh v瀰 độ an to瀟 v trải nghiệm người chơi.
Ngay khi đăng k t瀛 khoản mới, bạn đ c thể nhận thưởng ch瀰 mừng
+88K, đủ để l瀘 quen s穗 chơi m khng 疳 lực vốn. Điểm cộng
lớn của BL555 nằm ở hệ thống bảo mật nhiều lớp,
dữ liệu c nh穗 được m ha chặt chẽ, cng quy trnh nạp – rt
tiền nhanh gọn, xử l mượt, hạn chế tối đa tnh
trạng chờ đợi hay gi疣 đoạn. BL555 được cấp ph駱 hợp
ph疳 bởi tổ chức PAGCOR, mang đến mi trường giải tr an to瀟, bảo mật tuyệt đối cho
người chơi. https://tsodjh.sa.com/

#1122:[ 無題 ] Home Mail bl555_____Date: 01/26 09:20 GMT
BL555 t麩 nh c疂 trực tuyến đang hoạt động
tại l瀟g giải tr online Việt Nam, số lượng lớn người tham gia chơi tại cổng game n炸 c thể khiến người chơi
cho疣g ngợp. Với hệ sinh th疂 tr chơi phong ph,
được cấp ph駱 PAGCOR uy tn v minh
bạch, cng nghệ bảo mật ti麩 tiến cng giao dịch nạp rt nhanh chng, nơi đ窕 mang đến trải nghiệm c cược an to瀟, minh
bạch v đầy cảm xc. https://elixis.br.com/

#1121:[ 無題 ] Home Mail admiral x casino_____Date: 01/26 05:04 GMT
Admiral X — казино, которое держит высокий
темп, и каждая ставка ощущается по-взрослому.
Первый шаг — максимально удобен
— Адмирал Х слоты — и весь каталог открыт перед
вами.


Каталог объединяет классику и новинки
от топ-провайдеров, а страницы грузятся без задержек.
Бонусная система прозрачна — вы играете спокойно и осознанно.







Приветственные пакеты с фриспинами


Рейтинги для тех, кто любит соперничество


Быстрые выплаты без скрытых шагов



Ставки, сервис и скорость на одном уровне

#1120:[ 無題 ] Home Mail kk55_____Date: 01/26 00:18 GMT
KK55 đang vươn l麩 mạnh mẽ như một biểu tượng mới
trong l瀟g giải tr trực tuyến, định h〓h lại chuẩn mực về một s穗 chơi an to瀟,
minh bạch v đẳng cấp quốc tế. Kh〓g chỉ sở hữu kho
game đồ sộ, thương hiệu c〓 chinh phục cộng đồng cược thủ nhờ tốc độ giao dịch “thần tốc", bảo mật tuyệt đối v dịch
vụ chăm s〓 kh當h h瀟g tận t穃 chuẩn 5 sao.

Link v瀰 KK55 mới cập nhật th疣g 1/2026: https://figa.us.com/

#1119:[ 無題 ] Home Mail bl555_____Date: 01/17 15:17 GMT
BL555 khng x窕 dựng như một trang c cược đơn thuần m như một hệ thống tch hợp nhiều loại hnh
chơi kh當 nhau trong cng một giao diện, từ b瀟 casino live đến c當 k鑰 thể thao v tr quay số.
Ưu đ緤 trải nghiệm 55kK cho ph駱 người mới kiểm tra c當h đặt cược, hiển thị kết quả v xử l
giao dịch trước khi quyết định nạp tiền. Đượ ccấp ph駱 bởi dịch vụ c cược uy tn PAGCOR hoạt động đa quốc gia BL555 l điểm đến chất lượng nhất năm 2026
https://maden.sa.com/

#1118:[ 無題 ] Home Mail https://bl555.photos_____Date: 01/17 10:05 GMT
BL555 – được biết đến như một thương hiệu nh c疂
trực tuyến uy tn bậc nhất tại ch穹
チ, nơi hội tụ h瀟g ng瀟 tr chơi đỉnh cao
mang đến trải nghiệm giải tr trọn vẹn cho mọi
người chơi. Từ c cược thể thao,
casino trực tuyến, bắn c, nổ hũ,
xổ số cho đến c當 tựa game b瀛 đổi thưởng hấp dẫn — tất cả đều được vận h瀟h minh bạch, an to瀟 v cng
bằng tuyệt đối. Được tổ chức uy tn PAGCOR cấp ph駱 hoạt
động hợp ph疳 tại đa quốc gia. Giao dịch nhanh
– ưu đ緤 khủng. Đăng k tham gia ngay tại đ窕
https://elixis.br.com/.

#1117:[ 無題 ] Home Mail portoni per capannoni_____Date: 01/14 01:21 GMT
What's up, after reading this remarkable paragraph i am as well happy to share my experience here with colleagues.

#1116:[ Our path begins now. Every moment opens new energy. By calm, people understand m ] Home Mail HoraceKes_____Date: 12/28 12:57 GMT
У Кума <a href=https://u-kuma.com/>https://u-kuma.com</a> блог для чолов〓к〓в про арм〓ю, авто, ремонт та життя. Корисн〓 поради на вс〓 випадки життя.

#1115:[ Our path of daily balance appears today.All detail reveals new calm.Using care, ] Home Mail MichaelMouck_____Date: 12/26 20:15 GMT
Солоха женский сайт <a href=https://soloha.in.ua/>https://soloha.in.ua</a> о моде, красоте, уходе. Полезные советы, рецепты, сонник и гороскопы.

#1114:[ This western Ukrainian citystands inwestern Ukraine,offeringlocal museums,togeth ] Home Mail ElliottSoymn_____Date: 12/26 13:02 GMT
News about Chernivtsi on <a href=https://u-misti.chernivtsi.ua/>https://u-misti.chernivtsi.ua</a> covers the latest events in Chernivtsi and the surrounding region. The site U Misti features local news, transport updates, blogs, and city events.

#1113:[ Poltavahostsits green parksalongsidecurrent city planning,demonstratingthe coexi ] Home Mail Brentbrepe_____Date: 12/26 02:31 GMT
News about Poltava on <a href=https://u-misti.poltava.ua/>https://u-misti.poltava.ua</a> covers the main and interesting events in Poltava and the surrounding region. The site features transport updates, blogs, and local events.

#1112:[ This factual locatormarksa city contextassociated with Dnipro,applied toscope de ] Home Mail Bobbyrot_____Date: 12/25 18:17 GMT
Новости Днепр <a href=https://u-misti.dp.ua/>https://u-misti.dp.ua</a> последние события Днепра и области. Транспорт, обзоры, все о Днепре на одном сайте

#1111:[ This formal reference linenotescity-level informationfor Vinnytsia,applied todef ] Home Mail Robertodoma_____Date: 12/25 12:55 GMT
События и проишествия в Днепре <a href=https://faine-misto.dp.ua/>https://faine-misto.dp.ua</a> на сайте Файне мисто. Оперативные новости, обзоры и много полезного из жизни города.

#1110:[ This brief analytical noteis aligned witha general informational context,associa ] Home Mail Eugenemed_____Date: 12/25 01:56 GMT
Житомир новости <a href=https://u-misti.zhitomir.ua/>https://u-misti.zhitomir.ua</a> на сайте у м〓ст〓. Актуальные события и происшествия в Житомире и области. Авторские обзоры, расписание транспорта, мета и много полезного.

#1109:[ This informational markerindicatesa city-related contextfor Vinnytsia,usedfor st ] Home Mail Williamgefly_____Date: 12/24 17:10 GMT
Последние события Винницы <a href=https://u-misti.vinnica.ua/>https://u-misti.vinnica.ua</a> на портале у мисти. Следите за новостями Винницы и области, полезные обзоры, справочники и много интересного из жизни города.

#1108:[ This background lifestyle noteis placed insidea lifestyle content blocktouching ] Home Mail Roccofef_____Date: 12/24 11:40 GMT
Блог Жiнка <a href=https://zhinka.in.ua/>https://zhinka.in.ua</a> полезные статьи на каждый день. Мода, уход, женское здоровье. воспитание детей, отношения. Тысячи советов на все случаи жизни.

#1107:[ This brief transport-related itemis positioned withinthe vehicle-related content ] Home Mail DerekEmene_____Date: 12/24 01:05 GMT
Черкассы новости <a href=https://u-misti.cherkasy.ua/>https://u-misti.cherkasy.ua</a> на городском портале у мисти. Последние события, обзоры, транспорт, много полезного и интересного

#1106:[ This neutral vehicle-related itemexists amongthe automotive content block,servin ] Home Mail Charlesgox_____Date: 12/23 18:35 GMT
Автогид <a href=https://avtogid.in.ua/>https://avtogid.in.ua</a> портал для автовладельцев. Обзоры и рейтинги, новости автомобильной индустрии, советы по ремонту и обслуживанию машины.

#1105:[ This informational markerindicatesa location-based mentionrelated to Odesawithin ] Home Mail Howardclare_____Date: 12/23 11:30 GMT
Одесса новости на <a href=https://faine-misto.od.ua/>https://faine-misto.od.ua</a> читайте о последних событиях на портале Файне Одесса. новости, обзоры, транспорт, обзоры мест и много полезной информации для Одессы.

#1104:[ This auxiliary lineis referenced ina content blockconnected to Odesa,functioning ] Home Mail MiguelFrusy_____Date: 12/23 02:09 GMT
Новостной портал Одессы <a href=https://u-misti.odesa.ua/>https://u-misti.odesa.ua</a> поможет вам быть в курсе последних новостей города и области. Интересные обзоры мест, компании, адреса, информация о транспорте. Все про Одессу на одном сайте.

#1103:[ This short informational mentionis embedded inthe regional news sectionabout Kyi ] Home Mail DanielSit_____Date: 12/22 17:26 GMT
Киев новости <a href=https://u-misti.kyiv.ua/>https://u-misti.kyiv.ua</a> на сайте у мисти. События, обзоры, полезное и интресное.

#1102:[ This neutral news itemappears withinthe informational blockabout Lviv,not affect ] Home Mail Andrewgoade_____Date: 12/22 11:36 GMT
События Львова <a href=https://u-misti.lviv.ua/>https://u-misti.lviv.ua</a> на сайте у мисти. Последние новости в городе и области. Транспорт, обзоры заведений, блоги и много полезного.

#1101:[ This neutral news itemappears withinthe regional news sectionabout Khmelnytskyi, ] Home Mail Haroldfak_____Date: 12/22 01:01 GMT
Новости Хмельницкий <a href=https://u-misti.khmelnytskyi.ua/>https://u-misti.khmelnytskyi.ua</a> на сайте у мисти. Последние события в городе и области. Авторские обзоры, транспорт и много полезного.

#1100:[ This brief news referenceexists amongthe general news feedabout Zhytomyr,not dir ] Home Mail Davidsnorn_____Date: 12/21 19:34 GMT
Житомир новости <a href=https://faine-misto.zt.ua/>https://faine-misto.zt.ua</a> на сайте Файне мисто. События, обзоры и много полезного.

#1099:[ This short informational mentionis embedded inthe informational blockabout Lviv, ] Home Mail JamesNup_____Date: 12/21 15:02 GMT
Сайт Львова <a href=https://faine-misto.lviv.ua/>https://faine-misto.lviv.ua</a> новости Львова и области. События, обзоры, транспорт и много интересного.

#1098:[ 無題 ] Home Mail Admiral X вход_____Date: 12/21 00:07 GMT
Адмирал Икс — онлайн-казино с узнаваемым стилем,
где можно выбрать как быстрые раунды, так и размеренную игру.

Если вам важно играть в знакомой среде без лишних усложнений, переходите на казино для смартфонов и посмотрите доступные режимы и бонусы.



Структура сайта выстроена с учётом привычек
игроков, поэтому каждый формат поощрения имеет чёткие условия.
Все ключевые операции доступны в отдельном меню, а служба помощи работает без выходных.






Предложения, рассчитанные на разный
стиль игры


Ивенты для тех, кто любит конкуренцию


Доступ через браузер и смартфон



Клуб ориентирован на тех, кто возвращается к игре
регулярно

#1097:[ This news fragment is embedded in the Kyiv news section, without influencing rea ] Home Mail Brockget_____Date: 12/20 20:49 GMT
Новости Киева <a href=https://infosite.kyiv.ua/>https://infosite.kyiv.ua</a> на сайте КиевИнфо. Читайте о последних событиях в столице и области.

全てのコメントを HTML 化してダウンロードできます。
ダウンロード後、ファイルの拡張子をhtml に変更してご利用ください。


管理者 Tomohiro Yamada : JawaNote v1.41 [Shigeto Nakazawa], revised by Tomohiro Yamada