[TOP]

素因数分解の一意性

2009年6月27日作成/2025年5月25日一部修正

素数について

素数、すなわち $1$ と自分自身でしか割れない数は整数の世界において最も重要な対象の一つである。

$1$ より大きな整数 $N$ が素数でなければ、$N$ は $1$ と $N$ の間に約数 $N_1$ を持っている。だから、$N=N_1 M_1$ とかける。 ここで、 $N_1$ が素数ならばそれでよし、素数でないならば、その $N_1$ もまた $1$ と $N_1$ との間に約数 $N_2$ を持っている。 M1 についても同じように考えていく。そのように繰り返していくと、いつか素数に辿り着く。 なぜなら、$N>N_1>N_2>\cdots$ と小さくなっていくが、無限に小さくなることはないからである。

 よって、$1$ より大きな整数は必ず素数の積として表せる。たとえば、$24=4\times 6, 4=2\times 2, 6=2\times 3$ だから、$24=2\times 2\times 2\times 3=2^3\times 3$ と素数の積で表される。

 しかも、算術の基本定理といって、$1$ より大きな整数は必ず素数の積に一意的に表示できる。ただし、ここで例えば $6=2\times 3=3\times 2$ は、$2$ と $3$ の現れる順序が違うだけなので、そのようなものは同一視する。
 素数が整数の世界において重要なのは、整数が素数の積に、しかも一意的に表示できるからである。

 算術の基本定理の証明は複数のものが知られているが、筆者の知る限りで最も単純だと思うものを上げる。

 $N$ を少なくとも二種類の素因数分解を持つ最小の整数として、$N=p_1 p_2 \cdots p_\ell=q_1 q_2 \cdots q_k, p_1\leq p_2\leq \cdots \leq p_\ell, q_1\leq q_2\leq \cdots q_k$ とおく。
 このとき、$p_1, p_2, \ldots, p_\ell$ と $q_1, q_2, \ldots, q_k$ は共通の素因数を持たない。なぜならば、例えば $p_1=q_1$ ならば、$N/p_1=N/q_1=p_2 \cdots p_\ell=q_2 \cdots q_k$ となって、 $N/p_1$ もまた少なくとも二種類の素因数分解を持つからである。
 $\ell=1, k>1$ ならば、 $p_1=q_1 q_2 \cdots q_k$ より $p_1$ が素数であることに反する。$\ell=k=1$ ならば、$N=p_1=q_1$ でなければならない。よって、$\ell>1, k>1$ でなければならない。
 $l>1, p_1\leq p_2$ より $p_1^2\leq p_1 p_2 \leq N$, 同様に $q_1^2\leq q_1 q_2\leq N$ である。$p_1\neq q_1$ だから $p_1 q_1  ところが、$N/p_1=p_2 \cdots p_\ell$ と素因数分解される。つまり、$N/p_1$ は少なくとも二種類の素因数分解を持つことになり、$N$ の最小性に矛盾する。
 ここから、$N$ の素因数分解の一意性が示せた。(証明終)


 素数は整数の世界において重要な対象であるが、素数それ自体の探求もまた多くの人をひき付けるテーマである。

 素数はどれだけ存在しているか。素数をどのようにして見つけ出せばいいのだろうか。など、素数に関する問題は無数にある。
 Paulo Ribenboim氏の素数に関する著書、 The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, 1996 では、素数について次の6つのテーマに分けて扱っている。

  1. 素数はどれだけたくさん存在するか?
  2. ある自然数が素数か否かどうやって判定するか?
  3. 素数を定義する関数は存在するか?
  4. 素数はどのように分布しているか?
  5. どのような特殊な素数が考察されてきたか?
  6. 素数に関する発見的・確率論的な結果

 このうち、すぐに答えられるのは最初の問いである。すなわち、素数は無限に多く存在する。
 これはユークリッドの有名な定理である。ユークリッドの証明は次の通りである。素数が有限個しか存在しないとして、すべての素数の積に1を加えた数を考える。この数も素因数を一つ持つが、その素数は「すべての素数の積」の素因数になっていなければならない。よって、その素数は1を割り切ることになり、矛盾する。よって、素数は無限に多く存在しなければならない。

 素数が無限に多く存在することの証明は他にもたくさんある。Paulo Ribenboim氏の著書にはそのいくつかが記されている。

 (5/25/2025追記)素因数分解が一意的であることの証明も他にもたくさんある。当サイトの「初頭整数論の基本定理の証明」にそのいくつかを紹介している。このページで紹介した証明は G. H. Hardy and E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, J. Silverman, A. Wiles, An Introduction to the Theory of Numbers, the 6th edition, Oxford University Press, 2008 の 2.11節の証明を参考とした。

タイトル
名前
URL
E-mail address
本文中ではLaTeXコマンドが使用可能です。
イメージ色
[admin]


[BACK][NEXT]

#68:[ 無題 ] Home Mail казино aurora_____Date: 07/07 01:40 GMT
Aurora Casino — это ваш идеальный выбор для захватывающих и выгодных игр.
Здесь вы найдете самые популярные игры, включая слоты, настольные игры и живое
казино с реальными крупье. Участие в акциях
и бонусах увеличивает шансы на выигрыш
и добавляет удовольствия в игровой процесс.




Что отличает Aurora бездепозитный бонус
от других казино? В Aurora Casino вам предложат широкий выбор игр, надежную
защиту и мгновенные выплаты. Наши игроки всегда могут быть уверены в честности игры и прозрачности всех условий.




Когда начать играть в Aurora
Casino? Присоединяйтесь прямо сейчас и начните
выигрывать большие суммы. Вот, что вас ждет:





Вам будут предложены большие бонусы, как только вы зарегистрируетесь.



Участвуйте в регулярных акциях и
турнирах, чтобы повысить
свои шансы на победу.


Большой выбор слотов и настольных игр.





В Aurora Casino ваши мечты о больших выигрышах становятся
реальностью.

#67:[ 無題 ] Home Mail ramenbet казино_____Date: 07/06 03:45 GMT
I believe what you posted was very logical. However, what about this?
suppose you were to create a killer title? I ain't
suggesting your content isn't solid, but suppose
you added something that makes people want more? I mean ‘fˆ��?‰㌈ꉓ?ォ is kinda plain. You should glance at Yahoo's
home page and watch how they create article headlines
to get people interested. You might add a video or a pic or two
to grab readers interested about everything've got to say.

Just my opinion, it could make your posts a little livelier.

#66:[ 無題 ] Home Mail ramenbet казино_____Date: 07/06 01:20 GMT
Heya i am for the first time here. I found this board and I
find It truly useful & it helped me out a lot. I hope to give something back and aid others like you helped me.

#65:[ 無題 ] Home Mail казино gizbo_____Date: 07/05 16:06 GMT
Terrific post however , I was wondering if you could write a litte more on this topic?
I'd be very grateful if you could elaborate a little bit more.
Kudos!

#64:[ 無題 ] Home Mail Gizbo_____Date: 07/04 22:14 GMT
This design is incredible! You certainly know how to keep a reader amused.
Between your wit and your videos, I was almost moved to start my
own blog (well, almost...HaHa!) Great job.

I really loved what you had to say, and more than that, how you presented it.
Too cool!

#63:[ 無題 ] Home Mail sykaa казино_____Date: 07/04 14:40 GMT
I believe what you posted made a ton of sense. However, what about this?
what if you composed a catchier post title? I am not suggesting
your information isn't good, however what if you added a post title that grabbed folk's attention? I mean ‘fˆ��?‰㌈ꉓ?ォ is kinda boring.
You might look at Yahoo's front page and note how they create news titles
to get viewers interested. You might add a video or a
related picture or two to grab readers interested about what you've got to say.
Just my opinion, it might make your posts a little bit more interesting.

#62:[ 無題 ] Home Mail money x_____Date: 07/04 10:15 GMT
magnificent points altogether, you just won a new reader.
What might you recommend about your publish that you simply made some days in the past?
Any certain?

#61:[ 無題 ] Home Mail R7 casino скачать_____Date: 07/04 07:23 GMT
You're so interesting! I don't think I've read through anything like that before.
So nice to find someone with genuine thoughts on this topic.
Really.. thank you for starting this up. This website is something that is required on the internet,
someone with a little originality!

#60:[ 無題 ] Home Mail casino sykaaa_____Date: 07/04 04:07 GMT
I love your blog.. very nice colors & theme. Did you create this website yourself or did you hire someone to do it for you?
Plz respond as I'm looking to construct my own blog and would like to find out where u got this from.
appreciate it

#59:[ 無題 ] Home Mail буй казино_____Date: 07/02 14:39 GMT
What's up to every body, it's my first pay a visit of this weblog; this weblog
contains remarkable and truly good stuff for readers.

#58:[ 無題 ] Home Mail jet ton_____Date: 07/01 19:23 GMT
Jetton Casino – это место, где
каждый игрок может испытать свою удачу и насладиться азартом.

В нашем казино вас ждут топовые игровые автоматы, рулетка, покер и эксклюзивные
акции. Присоединяйтесь и получайте
бонусы для успешного старта.




В чем преимущества игры в Джеттон
безопасность? Мы ценим каждого игрока и создаем лучшие условия для комфортной игры.
Активные пользователи получают
дополнительные бонусы и эксклюзивные привилегии.

Ваши финансы и личные данные в полной безопасности.








Популярные игры от ведущих разработчиков.



Щедрые бонусы, бесплатные спины и индивидуальные акции для каждого
игрока.


Быстрое пополнение счета и моментальный вывод выигрышей.



Захватывающие турниры с крупными
призами и шанс сорвать джекпот.





Jetton Casino – это идеальное место для тех, кто любит азарт и большие выигрыши.

#57:[ 無題 ] Home Mail getx_____Date: 07/01 04:57 GMT
Hi my family member! I want to say that this article is amazing, nice
written and come with approximately all significant infos. I'd like to peer extra posts like this .

#56:[ 無題 ] Home Mail okrugmorskoy.ru_____Date: 07/01 00:31 GMT
This article offers clear idea designed for the new viewers of blogging, that actually how to do running a blog.

#55:[ 無題 ] Home Mail http://seostart.com.ua/_____Date: 06/30 14:53 GMT
http://seostart.com.ua/

#54:[ 無題 ] Home Mail анлим casino_____Date: 06/29 04:59 GMT
Добро пожаловать в Unlim Casino —
платформа, где игровые возможности соединяются с комфортом.
Здесь игроки могут получать удовольствие от широкого
выбора игр, включая слоты,
карточные игры, а также участвовать в акциях и выигрывать призы.
Nlim рабочее зеркало Для каждого найдется что-то интересное,
мы предложим вам все для удовлетворения ваших азартных потребностей.




Unlim Casino дарит не только игровые возможности, но и большие шансы на успех.
Присоединяйтесь к многим довольным игрокам,
которые уже наслаждаются наших игр и турниров.
Вы сможете выигрывать большие
деньги благодаря регулярным бонусам
и уникальным предложениям.



Что отличает нас среди других казино?



Мгновенная регистрация — всего несколько шагов, и вы готовы начать играть.



Великолепные бонусы для новых игроков — стартуйте с большим
шансом на успех.


Регулярные турниры и акции — для тех, кто хочет увеличить шансы
на выигрыш и получать дополнительные призы.



Круглосуточная поддержка — всегда готовы помочь в решении любых вопросов.



Мобильная версия — играйте в любимые игры в любое время и в любом месте.







Пора начать выигрывать! Присоединяйтесь
к нам и начните получать массу удовольствия и
прибыли прямо сейчас.

#53:[ 無題 ] Home Mail vavada слоты_____Date: 06/29 00:50 GMT
Thanks for sharing such a good thought, paragraph is pleasant,
thats why i have read it completely

#52:[ 無題 ] Home Mail Vovan слоты_____Date: 06/28 23:24 GMT
Heya i am for the first time here. I came across this board and I find It truly useful & it
helped me out much. I hope to offer something again and aid others
like you aided me.

#51:[ 無題 ] Home Mail vavada кэшбэк_____Date: 06/28 11:05 GMT
I like the helpful information you provide in your articles.
I'll bookmark your blog and check again here regularly.

I'm quite sure I will learn plenty of new stuff
right here! Best of luck for the next!

#50:[ 無題 ] Home Mail вован casino_____Date: 06/27 14:33 GMT
Hi there just wanted to give you a quick heads up. The words in your
content seem to be running off the screen in Firefox. I'm not sure if this
is a formatting issue or something to do with browser compatibility
but I thought I'd post to let you know. The style and design look great though!
Hope you get the problem fixed soon. Many thanks

#49:[ 無題 ] Home Mail джеттон_____Date: 06/27 11:32 GMT
Добро пожаловать в Jetton Casino – место,
где каждый спин может принести кр&

#48:[ 無題 ] Home Mail 1 хслот_____Date: 06/27 10:37 GMT
Hi there, I found your web site by means of Google even as searching for a comparable matter, your site got here up, it
seems great. I've bookmarked it in my google bookmarks.
Hello there, just become aware of your blog via Google, and located that it's
truly informative. I am going to watch out for brussels.
I will appreciate if you continue this in future.
Lots of folks will be benefited from your writing. Cheers!

#47:[ 無題 ] Home Mail casino drip_____Date: 06/27 05:40 GMT
Thanks designed for sharing such a nice idea, piece of writing is fastidious,
thats why i have read it completely

#46:[ 無題 ] Home Mail cosmetology39.ru_____Date: 06/27 04:18 GMT
Someone essentially help to make seriously posts I might state.
That is the very first time I frequented your web page and
up to now? I amazed with the analysis you made to make this actual publish amazing.
Excellent activity!

#45:[ 無題 ] Home Mail Sbobet88 Login_____Date: 06/26 23:29 GMT
This is really interesting, You're a very
skilled blogger. I've joined your rss feed and look forward to seeking more of your wonderful post.
Also, I've shared your sitge in my social networks!

#44:[ 無題 ] Home Mail unlimclub-hub.top_____Date: 06/26 22:55 GMT
Откройте для себя Unlim Casino — место,
где азарт и выигрыш соединяются с комфортом.
Здесь любители азартных игр могут наслаждаться
от огромного ассортимента игр, включая игровые автоматы, рулетку, а также участвовать в
акциях и выигрывать призы. онлайн слоты Для каждого найдется
что-то интересное, мы предложим вам все для удовлетворения ваших
азартных потребностей.




Unlim Casino дарит не только игровые
возможности, но и множество способов выигрыша.
Присоединяйтесь к сотням победителей, которые уже наслаждаются наших игр и
турниров. Вы сможете увеличить свои выигрыши
благодаря регулярным бонусам и уникальным предложениям.




Что выделяет нас среди других казино?




Быстрая регистрация — всего несколько шагов, и вы готовы начать играть.



Щедрые бонусы для новых игроков — стартуйте с большим шансом на успех.



Регулярные турниры и акции — для
тех, кто хочет увеличить шансы на выигрыш и получать дополнительные призы.



Круглосуточная поддержка — всегда готовы помочь в решении любых
вопросов.


Полная совместимость — играйте в любимые
игры в любое время и в любом месте.








Не упустите шанс Присоединяйтесь к нам и получите
массу удовольствия и прибыли прямо сейчас.

#43:[ 無題 ] Home Mail championslots-jackpot.wiki_____Date: 06/25 23:52 GMT
Its such as you read my mind! You seem to grasp so much about this, such as you wrote the e-book in it or something.
I believe that you just could do with a few p.c.
to power the message house a little bit, but other than that,
that is excellent blog. A great read. I'll certainly be back.

#42:[ 無題 ] Home Mail Rafa77_____Date: 06/25 17:29 GMT
Hi to every body, it's my first visit off this website; this wwebpage carries amazing and genuinely good data for readers.

#41:[ 無題 ] Home Mail Gacor Slot 77_____Date: 06/25 13:20 GMT
Hi! Do you know if they make any plugins to safeguard against hackers?
I'm kinda paranoid about losing everything I've worked hard
on. Any suggestions?

#40:[ 無題 ] Home Mail Rafa Slot_____Date: 06/25 12:16 GMT
Wonderful goods from you, man. I have understand your stuff previous to and you are just too excellent.

I really like what you've acqiired here, certainly like what you're stating and the way in which you say it.
You make it enjoyable and you still care for to keep it wise.
I cant waikt to read much more from you. This is really a
great web site.

#39:[ 無題 ] Home Mail Gacor Slot 77_____Date: 06/25 09:26 GMT
great submit, very informative. I'm wokndering why the opposite
specialists of this sector don't realize this.
You must proceed your writing. I am sure, you've a great readers' base already!

#38:[ 無題 ] Home Mail Rafa Slot_____Date: 06/24 13:38 GMT
Thanks , I have just been searching for info approximately this topic for ages andd yours is the best I have found out so
far. But, what about thhe bottom line? Are you sure in regards to the source?

#37:[ 無題 ] Home Mail instagram log in web_____Date: 06/24 09:21 GMT
The Private Instagram Viewer is a friendly tool meant to allow you anonymously investigate public Instagram profiles without logging into your own account.
Whether you're curious just about a username, desire to see
someones profile picture in full size, or check out their bio and public posts, this tool makes it quick and
private.

全てのコメントを HTML 化してダウンロードできます。
ダウンロード後、ファイルの拡張子をhtml に変更してご利用ください。


管理者 Tomohiro Yamada : JawaNote v1.41 [Shigeto Nakazawa], revised by Tomohiro Yamada